数学发展至今，已成为科学世界中拥有100多个主要分支学科的庞大“共和国”。而如果按照研究方向来分，代数学、几何学、分析学几乎构成了整个数学的本体与核心，尤其是代数学，作为重要的数学分支学科之一，对数学有着基础性的意义。

代数（algebra）一词最初来源于公元9世纪阿拉伯数学家、天文学家阿尔·花拉子米（al-Khowārizmī）一本著作的名称，书名的阿拉伯文是‘ilm al-jabr wal muqabalah，直译应为《还原与对消的科学》。而它的出现，曾经历了一段漫长的历史时期。

代数最初是用文字表述的，大约在公元前2000年，巴比伦算术已经演化出一些用文字表述的代数解题方法。他们既能用相当于代入一般公式的方法，又能用配方法来解二次方程，还讨论过某些三次方程和双二次方程。

方程问题是古典代数的主要内容，除了巴比伦，在古代中国、印度、阿拉伯等国家对方程的认识也都有着悠久的历史。

苦恼的是，如何去表示一个方程却一直很困难。因为用字母代替未知数，用符号表示代数式这种方法自创立至今也不过400年的历史，而在这之前都是用文字叙述的，为了简明地列出方程，古人们想了许多改进办法。

第一个重要的人物就是活动于公元250年前后的丢番图，他是解方程的大师，被称为代数学的鼻祖。他的著作《算术》中绝大多数篇章谈的都是方程，并且在解某些不定方程时展示了出惊人的巧思。可惜每道题他都用特殊的方法去求解，而不是给出一般的解法。而且他虽然知道负乘负得正，但如果解方程时得出负根，他就觉得不合理，只承认正根。

这些缺陷直到波斯人花拉子米（Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi）在巴格达智慧宫写出《代数学》一书才得以解决。其实，这本书原名叫做“还原与对消的科学”，对消就是把等式两端相同的项消去或者合并同类项。例如a2+3b=a+5b这个方程，可以通过对消得到a2=a+2b。还原就是将某一项移到方程另一端变成它的负数。例如，a2-3b=a+5b这个方程，可以通过还原得到a2-a=8b。

这两种方法适用于所有的方程运算，因此正好解决了丢番图代数的最大缺陷。“还原”的阿拉伯文读作al-jabr，传入西欧后变成了代数学的名字，可见花拉子米的新方法对初等代数学的发展有着何等深远的影响。

不仅如此，花拉子米还承认二次方程的负根和无理根。无理根就是说方程的解为无理数。这相比古希腊数学来说也是一个进步。因为自从毕达哥拉斯学派发现无理数以来，希腊数学家一直无法正确解释它，所以就倾向于否定它。花拉子米虽然也没有对无理数的性质给出合理的解释，但他至少承认了无理数的地位。

其实就连把未知数叫做“根”也是从花拉子米开始的。传入西欧之后，“根”不仅用来指方程的解，同时也指一个数的方根，例如2的平方根是±1.1421……

当然，花拉子米的代数学也是有缺陷的，因为他没有使用代数符号。例如a2+10a=39，花拉子米会表述成“一个平方数及其根的十倍等于三十九”。

即便如此，《代数学》依然是一本伟大的数学著作。书中第一次明确提出了二次方程的一般解法，同时，还提出了“移项”“合并同类项”等方法。以后，方程的解法被作为代数的基本特征长期保留下来，诞生了花拉子米的代数学。

此外，花拉子米还有另一本重要的数学著作《算术》。这本书的最大特色是改进了计算方法——在“黑板”上用印度数字（也就是阿拉伯数字）进行计算。传入西欧后，它逐渐取代了传统的算盘计算方法。花拉子米的拉丁文拼写也变成了算法的名字，可见他的影响之大。

花拉子米之所以能有这番学术成就，与智慧宫兼收并蓄、崇尚知识的作风分不开。因为大量来自希腊、波斯和印度的文献都汇集到智慧宫并翻译为阿拉伯文，为花拉子米的数学成就奠定了基础。需要指出的是，还原与对消这两大方法就连印度人也不知道，因此它们是花拉子米的原创性成果。

花拉子米的《代数学》一书，奠定了以方程论为中心的古典代数学学科的基石。此书的理论易学易懂，又能联系许多实际问题，适合当时人们的各种需要，因此流传久远。

13世纪传入欧洲，对欧洲文艺复兴时期的代数学影响极大，被奉为代数学教科书的鼻祖；

在花拉子米以后的几个世纪中，代数学发展缓慢。直到1591年，法国数学家韦达第一次在代数中系统地使用了字母。这种代数从过去以解决各种特殊问题且侧重于计算的数学分支，发展成为一门以研究一般类型问题的学科，使代数学的发展插上了翅膀。

韦达认为，代数是施行于事物的类或形式的运算方法，算术只是同数打交道的。所以，当时人们把代数看成是关于字母的计算、由字母表示的公式的变换以及解代数方程的科学，这标志着古典代数学的真正确立与完善。